- 学校不允许外传资料,题目只截取了一点,本校的同学可以邮件联系我获取完整题库🥺
行列式
自然数从小到大构成的排列是自然排列(标准排列),从第一个数开始违反一次标准排列,逆序数++
1. 二,三阶行列式直接对角线法则
2. 求不重复行元素的排列相乘(\一般不用)
3. 按某行或某列元素展开,转化为低阶行列式(低价元素称为余子式)
4. 根据行列式性质变形为特殊行列式
1. 转置后大小不变
2. 互换两行(列),行列式变号
3. 某一行(列)*k=整体*k
4. 某一行(列)拆成两数和=两个行列式和
5. 某一行(列)元素+k*另一行(列)元素,行列式值不变
6. 范德蒙行列式
题目求某行列式的余子式会给出行列式,将余子式或代数余子式的系数替换原行列式,将求余子式转化为求新行列式的值
D指系数行列式
Dn指将常数列替换D的第n列得到的行列式
xn=Dn/D
D!=0则方程有唯一解
矩阵
矩阵的加法：两个矩阵的加法满足结合律和交换律，且满足加法的元素位置一一对应。
矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个数。
矩阵的乘法是线性代数的一种基本运算。矩阵乘法的前提条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数。一般而言，设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么A*B的结果是一个m×p的矩阵。
矩阵乘法的计算公式是：C(i,j) = sum(k=1 to n)(A(i,k) * B(k,j))。
实际上，矩阵的乘法是矩阵元素的逐个相乘再求和，并将结果写在一个新的矩阵中。
结合律：如果A和B是两个矩阵，那么
(A·B)' = B'·A'。
(A+B)' = B'+A'。
逆矩阵具有以下性质：
1. 一个矩阵的逆矩阵只存在于方阵的情况下。
2. 如果一个矩阵的逆矩阵存在，那么它一定是唯一的。
3. 如果一个矩阵的逆矩阵存在，那么它和原矩阵相乘可以得到单位矩阵。
4. 如果一个矩阵的逆矩阵存在，那么它的逆矩阵的逆矩阵就是它本身
计算伴随矩阵:
1. 计算A的代数余子式矩阵，即余子式矩阵的第i行第j列元素为A元素的代数余子式的值。
2. 计算余子式矩阵的转置，即把矩阵的每一行变成一列，每一列变成一行。
计算逆矩阵:
1. 判断行列式是否为0,为0则没有逆矩阵
2. 计算伴随矩阵(转置后的代数余子式阵)
3. 逆矩阵=伴随阵/行列式的值
矩阵做未知数时1应该写成E
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行特殊的行运算操作，它包括：
1. 交换矩阵中两行。
2. 用一个非零常数乘以某一行。
3. 把某一行乘以一个常数加到另一行
行阶梯矩阵:
每个阶梯只有一行；元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不
小于行标）；元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行。
在高斯消元法(就是指行的初等变换)中，行阶梯矩阵是在消元过程中对一矩阵进行变换而得到的矩阵，这种变换是通过行相
加或行乘以一个非零常数得到的，其目的是使矩阵变为阶梯形状，方便解决性方程组的问题。
在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最
简形矩阵
行最简矩阵常常在数学和工程领域中用于表示矩阵的简化形式，以方便进行计算。
在最简形矩阵中，非零行有且只有一个非零元素且为1，则称该矩阵为标准形矩阵
不怎么考,变换步骤和行最简矩阵一样的
使用初等行变换求逆矩阵需要将原矩阵和单位矩阵通过一系列的初等行变换进行变换，使得原矩阵变成一个单位矩阵，
那么这个变换的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
过程如下：
将原矩阵和单位矩阵并在一起，形成一个增广矩阵
将增广矩阵的原矩阵那边化成单位矩阵
如果这个矩阵已经变成单位矩阵的形式，那么这个增广矩阵的右半部分就是原矩阵的逆矩阵。
如果原矩阵没有逆矩阵，那么在这个过程中不能得到单位矩阵，或者会出现无数解的情况。
秩不好用文字描述哇,懂的不好说说了不好懂,反正懂的都懂
万能的chatgpt的答案:
矩阵的秩是一个非负整数，表示矩阵最多可以选取多少个独立的行（或列），这些行（或列）的线性组合不为零。秩的计算
方法是将矩阵进行初等变换，使其变为行阶梯矩阵，然后在行阶梯矩阵中统计非零行的个数，秩即为非零行的个数。
注意到:秩是否为非零行的个数,这取决于是否能从这些行中取出行数阶子式
将方程组系数和值组成的增广矩阵进行初等行变换,使之化为行最简矩阵,右边一列即是方程的根
通过矩阵判断方程组的解的个数，主要是通过矩阵的秩来判断。如果矩阵的秩等于增广矩阵的秩，说明方程组有唯一解；
如果矩阵的秩小于增广矩阵的秩，说明方程组无解；如果矩阵的秩大于增广矩阵的秩，说明方程组有无数解。
向量的线性相关
向量的线性表示指的是用一组向量线性组合的方式表示一个向量。例如，如果有一个向量 v，它可以被用一组数 a1, a2, ..., an 和一组向量 v1, v2, ..., vn 的线性组合表示，即：
v = a1 * v1 + a2 * v2 + ... + an * vn
其中 a1, a2, ..., an 是系数，v1, v2, ..., vn 是一组向量，称作 v 的基。
b向量由a1,a2,,,,向量线性表示本质上和a矩阵*x=b向量是一样的
所以判定能否线性表示的方法是判断向量组的秩R(A)和增广矩阵秩R(A,B)的大小关系(和方程根的判定一样)
先要提一下向量组的线性相关,b向量组中每个向量都能被a向量组线性表示,则b向量组可以由a向量组线性表示
b向量组可以由a向量组线性表示,a向量组可以由b向量组线性表示,a,b就等价了
即R(A)=R(B)=R(A,B)
其实应该是向量组的线性相关,是组内的关系
向量组的线性相关指的是一组向量是否能够由一组线性组合形成。即，存在一组标量，使得这组向量的线性组合为0向量。若
存在这样的标量，则称这组向量为线性相关的；反之，称为线性无关的。
判定方法是R(An)<n,向量组的秩小于向量个数,或者|A|==0则线性相关
1. 向量个数大于维数时,向量组必定线性相关(因为秩<维数,如果维数<个数,说明向量组的秩小于向量个数)
2. 线性相关的向量组随便加多少向量进去都是线性相关的
3. 线性不相关的向量减去多少向量都不相关
向量组有a个向量线性无关
任意a+1个向量都线性相关,则这a个向量构成的向量组就是极大无关组
求极大无关组需要求出行阶梯矩阵,每个非0行的第一个非0元所在的列就是极大无关组的列
向量组中的非极大无关组的向量可以由极大无关组的向量通过线性组合得到,方法:化为行最简矩阵直接看就行了
又开始讨论方程了
前面讨论了行列式解方程,局限性很大,要求元个数和方程数相等
也讨论了矩阵解方程,它可以判断任何方程根的情况,或者得到任何方程的根
这里用向量组解方程可以得到多解方程的通解
步骤:
1. 首先确定或转化方程为线性齐次方程组(等号右边常数项都是0)
2. 求行最简矩阵,可以得到极大无关组
3. 使用极大无关组的向量(即部分元)线性表示其他向量(另一部分元)
4. 给极大无关组的向量不断赋值,来得到其他向量的值(赋值注意要赋线性无关的值,不然就成倍数了),这些值构成特解
5. 两组特解加个参数就是通解了
当然可以把方程转化成齐次线性方程组,但是题目一般都是要求通解中带有特解
导出组:
指一组向量由其他向量线性组合得到的向量集合
人话来说就是非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组,把等号右边的数当成0就行了
导出组通解:
和上面求齐次线性方程组的步骤一样
特解:
和上面一样
通解=特解+k*导出组通解
步骤:
1. 求增广矩阵的行最简
2. 求方程根的数量
3. 若无穷,求特解
4. 求导出组通解
5. 求通解
定义:一个向量组对加法和数乘封闭,就是一个向量空间
性质:齐次线性方程组的解集合一定是一个向量空间
基:一个空间中的向量组,空间中任何向量都能被基线性表示,基中的向量线性无关
维数:基中的向量个数
坐标:基都有了,那你说坐标是啥doge
判断是不是基只需要看看是不是线性相关就行了,上面有线性相关的判定
其实求坐标和解方程一模一样
矩阵的特征值与特征向量
内积:将量的对应元素相乘的和
正交:内积为0
正交向量组:任意向量两两正交
施密特正交化:将非正交向量组化为等价的正交向量组(等价:前面提到过,对于a向量组，b向量组中可以通过
线性变换得到任意一个a组内的向量)
方法:
对于第一个向量，直接作为正交基的第一个向量。
对于第二个向量，将其与第一个向量叉积，然后将得到的向量归一化，并作为正交基的第二个向量。
对于第三个向量，首先使用正交基中的两个向量计算它的投影，然后从该投影中减去它以获得与正交基正交的向量。将此向量归一化，然后作为正交基的第三个向量。
对于其他向量，按照此模式继续操作，直到所有向量都被正交化为止。
A*A(t)=E
矩阵和自己的转置相乘=E
特征多项式:f(a)=|A-a*E|
特征方程:f(a)=0
特征值:特征方程的根
求特征值:
1. 写出特征多项式,化简
2. 求出化简后行列式的含参方程并求解
求全部特征向量:
将特征值带入所有特征方程,再求出每一个特征方程的通解
一个特殊的性质:
特征值的乘积等于矩阵对应的行列式的值
相似矩阵定义:
相似矩阵是指一个矩阵与另一个矩阵通过一个可逆矩阵的变换得到的矩阵。也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P，使得
矩阵 B=P^(-1)AP，那么 A 和 B 就是相似矩阵。这种相似关系表示两个矩阵有着相同的特征值，并且相同的特征向量是通
过可逆矩阵 P 变换得到的。
对角矩阵定义:
对角矩阵是一个方阵，除了对角线上的元素（即对角元素）都为0的矩阵。对角线上的元素是矩阵的特征值，矩阵的特征向量可以用作对角线上的元素。例如，以下是一个3x3的对角矩阵：
[d1 0 0]
[0 d2 0]
[0 0 d3]
其中d1, d2, d3是对角线上的元素，也就是对角矩阵的特征值。
求相似矩阵:
1. 求出所有特征值
2. 求出特征向量
3. 特征向量组形成的矩阵就是相似矩阵
对角化矩阵:
若特征向量个数等于矩阵列数就可以对角化,初等变换相似矩阵即可
(注意:这里特指线性无关的特征向量,步骤和之前向量求方程的根一样)
- 求正交变换矩阵只需要将相似矩阵的向量进行单位化和正交化即可,若特征值相等,则相同的特征向量需要先进行正交化,再进行单位化,若不相等,直接将自己单位化即可
求正交变换矩阵,过程中的特征向量需要正交化吗?
是的，求正交变换矩阵过程中的特征向量需要正交化。正交化的目的是为了使特征向量线性独立，并且长度为1。这样做有
助于避免不必要的信息和误差，保证答案的正确性。
二次型
含有n个元的二次多项式可以表示成一个二次型:原式=元向量的转置*A矩阵*元向量
A矩阵是对称矩阵,和二次型存在一一对应关系
这求二次多项式的二次型也不好说哇,直接看题目吧
指只含平方项的二次多项式得到的二次型
进一步的,如果这些项的系数只有1,0,-1,就是规范型
任何二次型都能通过正交变换化为标准型
求二次型的标准型:
1. 求二次型矩阵
2. 求二次型矩阵的特征值
3. 求正交变换矩阵,注意要单位化和正交化
3. 求出对角阵,对角元素就是标准型参数
就是说关于f(x)的二次多项式
如果恒大于零,对应的二次型就有正定性,叫正定二次型(半正定二次型),对应正定矩阵
如果恒小于零,对应的二次型就有负定性,叫负定二次型(半负定二次型),对应负定矩阵
顺序主子式:
矩阵左上角的k阶子式
判定方法:
1. 可以由定义判定
2. 若二次型的任意阶顺序主子式都>0,则二次型正定
3. 若奇数阶顺序主子式都为负,偶数阶都为正,则二次型半负定
